雅可比松弛法 • 果果日记

有道题叫分析，那先了解下这种方法。

查阅了资料后初步得知这是一种通过矩阵迭代解方程组的方法。

给出如下方程：

a11*x1+a12*x2+a13*x3=b1

a21*x1+a22*x2+a23*x3=b2

a31*x1+a32*x2+a33*x3=b3

可以化成如下式子：

x1=(b1-a12*x2-a13*x3)/a11

x2=(b2-a21*x1-a23*x3)/a22

x3=(b3-a31*x1-a32*x2)/a33

我们先假设x1=0, x2=0, x3=0，代入式子右边：

x1=b1/a11

x2=b2/a22

x3=b3/a33

我们得到新的x1,x2,x3，于是我们可以继续将新的值代入方程，又得到新的x1,x2,x3，如此循环下去，X将会越来越接近准确值。

如果以矩阵的形式表示上述方程，即Ax=B。将A分成对角矩阵D，右上三角矩阵U，左下三角矩阵L。Ax=B转化为Dx=b+（L+U）x，继而转成x=b*D^(-1)+(L+U)x*D^(-1)

又由于DLUA都是已知量，可以把上式系数算出来，于是式子可以化简成x(k)=Tx(k-1)+c。

于是又可以令x=[0,0,….,0]，然后迭代。

现在我明白这是怎么一回事了，但是刚才才看就挺懵的。

这篇博客以上部分是笔记，想具体了解该算法请左转https://www.cnblogs.com/gongxijun/p/10149337.html

MPI代码分析（书上的题，有些看不懂）

float Arow[N],X[N],NewX,B,error,Temp;//雅可比迭代法的输入应该是矩阵吧，那NewX和B是矩阵，Arow是N*N的矩阵，X是数组，至于error嘛，Allreduce里面用到了，作为recvAddress，大概理解成，如果error超过一定量度，就不会继续迭代
MPI_Comm comm;//MPI通信域
error=SomeLargeValue;//一个常量，error值超过它就不再迭代
初始化A、x和B
MPI_Init(&argc,&argv);//进入MPI环境
comm=MPI_COMM_WORLD;//为MPI通信域赋值
MPI_Comm_rank(comm,&my_rank);//获取当前进程在指定通信域的编号到my_rank
while(error>SomeErrorBound){//一次完整的迭代
Temp=B;//B是常量矩阵
for(int i=0;i<N;i++)Temp-=Arow[i]*X[i];//A是系数矩阵的一列，X是未知数（为上一次迭代计算出的值），算出一个矩阵，用B减去，减了N次
Temp/=A[my_rank];//只除以这个处理器对应的系数矩阵的一行
NewX=Temp+X[my_rank];//新的X要加上Temp
MPI_Allgather(&NewX,1,MPI_FLOAT,&X,1,MPI_FLOAT,comm);//每个处理器处理了一行（获得了一个新的X），聚集起来每个处理器获得所有新的X
Temp=Temp*Temp;//为什么要平方
MPI_Allreduce(&Temp,&error,1,MPI_FLOAT,MPI_SUM,comm);//所有处理器的Temp都被归并到根进程的error，方式是计算总和
}

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